Sumárna štatistika tvorí jeden zo základných štatistických nástrojov v rámci popisnej štatistiky pri ktorej sa najčastejšie počítajú základné štatistické charakteristiky kvantitatívnych znakov a vlastností skúmaných javov a procesov. Sumárna štatistika by mala byť jednou s prvých analýz, ktoré použijeme ak začíname analyzovať nejaké číselné údaje. Sumárna štatistika tvorí neodmysliteľnú súčasť celej uskutočnenej štatistickej analýzy.

Praktický postup základného popisu a skúmania údajov:

1. Výber vhodnej metódy (metód) popisu údajov (zohľadnenie typu analyzovaných údajov).
2. Prvotné grafické zobrazenia údajov (výber vhodného grafického zobrazenia).
3. Výpočet vybratých štatistických charakteristík (sumárna štatistika).
4. Interpretácia a prezentácia výsledkov sumárnej štatistiky.
5. Základná distribučná analýza (analýza rozdelenia početnosti).
6. Interpretácia a prezentácia základnej distribučnej analýzy (normálne rozdelenie).

1. Výber vhodnej metódy (metód) popisu údajov (zohľadnenie typu analyzovaných údajov).
   Rozlišujeme dva základné typy údajov: údaje spojité a údaje diskrétne. Typ údajov určuje jednoznačne spôsob ako údaje popisovať a sumarizovať ich výsledky (iný spôsob je v prípade údajov spojitých a iný v prípade údajov diskrétnych). Spojité údaje (vek, hmotnosť, produkcia mlieka): premenné majú neobmedzený počet možných hodnôt v rámci daného rozsahu, hodnoty sú číselné. Spojité údaje sa tiež nazývajú aj intervalové údaje. Diskrétne údaje (pohlavie farba, genotype, bodová klasifikácia, Áno/Nie) majú zvyčajne malý počet odlišných hodnôt v rámci daného rozsahu. Hodnoty môžu byť znakové alebo číselné. Diskrétne údaje sa tiež nazývajú aj kategorické (kategoriálne) údaje.

2. Prvotné grafické zobrazenia údajov (výber vhodného grafického zobrazenia).
   Začiatkom každej analýzy údajov je ich kontrola z hľadiska toho, či neobsahujú nejaké chyby, nelogické resp. nepravdivé hodnoty a stavy. Najjednoduchší spôsob, ako skontrolovať, alebo preskúmať svoje údaje z tohto pohľadu, je jednoduché grafické zobrazenie ich hodnôt. Z hľadiska tohto účelu ako základné grafické zobrazenia sa používajú: histogramy, krabicové grafy a stĺpcové grafy.

3. Výpočet vybratých štatistických charakteristík (sumárna štatistika).
   Výpočet základných resp. vybratých štatistických charakteristík predstavuje v skutočnosti výpočet mier centrálnej tendencie údajov, ktoré sa týkajú lokalizácie stredu distribúcie hodnôt a výpočet mier variability.

4. Interpretácia a prezentácia výsledkov sumárnej štatistiky.
   Najčastejšie používanými mieramy centrálnej tendencie sú: aritmetický priemer, modus a medián. Aritmetický priemer možno vypočítať len na spojitých údajoch. Pre medián musíme zoradiť hodnoty od najnižšej po najvyššiu a vybrať strednú hodnotu. Ak existuje párny počet pozorovaní, potom použijeme priemer dvoch stredných hodnôt. Medián môžeme vypočítať na spojitých údajoch a tiež aj na diskrétnych údajoch, ak existuje nejaké prirodzené zoradenie ich hodnôt. Modus je najbežnejšou (najčastejšie sa opakujúcou) hodnotou premennej vo výberovom súbore. Modus je možné získať pre spojité aj pre diskrétne údaje. Modus nemusí mať vždy riešenie (žiadna konkrétna hodnota sa nevyskytuje najviac). Najpoužívanejšími mieramy variability sú: variačné rozpätie, kvartilové rozpätie (3. kvartil mínus 1. kvartil), rozptyl, smerodajná odchýlka a variačný koeficient. Variačné rozpätie je najjednoduchšie vypočítať a je to najväčšia hodnota mínus najmenšia. Táto miera variability ale závisí iba od dvoch extrémnych hodnôt a v praxi nemá až takú vypovedaciu silu. Kvartilové rozpätie je v skutočnosti rozpätie stredných 50 % údajov, a je menej citlivé na extrémne hodnoty údajov. Rozptyl je v skutočnosti priemerný štvorec rozdielu medzi každou hodnotou premennej a jej priemerom. Je to najvýznamnejšia miera variability, ale pretože to je mocninový výraz, rozptyl je ťažké interpretovať. Smerodajná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu, čo znamená, že je pre nás oveľa jednoduchšie interpretovatelná a preto je najpoužívanejšou mierou variability.
   Smerodajná odchýlka závisí od mierky, na ktorej sa merajú údaje, takže štandardná odchýlka hmotnosti nameraná v kilogramoch sa bude líšiť od štandardnej odchýlky hmotnosti nameranej v gramoch. Smerodajná odchýlka sa nedá preto použiť pri porovnávaní variability znakov rôznych mierok. Ak chceme porovnať variabilitu premenných v rôznych mierkach merania, používame variačný koeficient.

5. Základná distribučná analýza (analýza rozdelenia početnosti).
   Tvar distribúcie (tvar distribučnej krivky) je dôležitý na určenie, či miery centrálnej tendencie a miery variability, ktoré sme použili sú vhodne zvolené. Hodnotíme skreslenosť, alebo neskreslenosť rozdelenia početnosti analyzovaných údajov. Jedná sa o posúdenie toho, či rozdelenie početnosti je symetrické, alebo asymetrické. V oblasti biologického výskumu najčastejšie posudzujeme, či rozdelenie početnosti má normálneho rozdelenia (Gausova krivka normálneho rozdelenia).

6. Interpretácia a prezentácia základnej distribučnej analýzy (normálne rozdelenie).
   Normálne rozdelenie početnosti je najviac používaným rozdelením početnosti využívaným v štatistických analýzach v rôznych oblastiach praktickej a výskumnej činnosti biologického aj nebiologického charakteru. Normálne rozdelenie je kompletne popísané priemerom a smerodajnou odchýlkou. Typická krivka normálneho rozdelenia má súmerný zvoncový tvar. Jedným z dôležitých predpokladov väčšiny používaných štatistických metód je predpoklad zachovania normality údajov.

Vzorové údaje (zdroj: Databáza údajov projektu KEGA)

            Vzorové údaje pre výpočet a interpretáciu výsledkov sumárnej štatistiky tvoria základné ukazovatele mliekovej úžitkovosti vybratej skupiny kráv slovenského strakatého plemena v rámci jedného poľnohospodárskeho podniku v Slovenskej republike. Ukazovatele mliekovej úžitkovosti sú zaznamenané na úrovni normovaných laktácií, Sledované boli prvé tri normované laktácie.

Príklad 1.1.1 Vypočítajte a popíšte základné štatistické charakteristiky ukazovateľov mliekovej úžitkovosti kráv slovenského strakatého plemena. Určite, ktorý ukazovateľ má najväčšiu a najmenšiu variabilitu v hodnotenom súbore. Pre všetky hodnotené ukazovatele zostavte a interpretujte grafy vo forme histogramov a krabicových grafov. Zistite či hodnota obsahu tuku 4,00 % a hodnota obsahu bielkovín 3,30 % sa nachádza v rozpätí konfidenčných intervalov so spoľahlivosťou 95 %.

Výsledky sumárnej štatistiky (program SAS)

V tabuľke máme zobrazené všetky požadované a nastavené číselné popisné charakteristiky analyzovaného súboru mliekovej úžitkovosti kráv. Najväčšiu variabilitu (hodnota variačného koeficienta 22,12 %) sme zistili pri ukazovateli produkcia tuku v kilogramoch a naopak najnižšiu variabilitu (hodnota variačného koeficienta iba 6,65 %) sme zistili pri obsahu bielkovín.

Nepotvrdil sa predpoklad, že hodnota obsahu tuku 4,00 % sa nachádza v hraniciach konfidenčného intervalu so spoľahlivosťou 95 %. Priemerná hodnota obsahu tuku (4,15 %) sa totiž nachádza vo vyšších hraniciach od 4,06 % do 4,25 %. Uvedené zistenie je ale z hľadiska mliekovej úžitkovosti kráv pozitívne. Znamená priemerné zvýšenie obsahu tuku v kravskom mlieku oproti predpokladanému obsahu tuku, čo môže mať pozitívny efekt pre konkrétneho chovateľa, aj pre samotného spracovateľa mlieka pri výrobe mliečnych výrobkov. V prípade obsahu bielkovín sa hodnota 3,30 % nachádza presne na spodnej hranice konfidenčného intervalu. Potvrdilo sa tvrdenie, že vypočítaná priemerná hodnota patrí do tohto intervalu.

Grafické zobrazenia výsledkov jednotlivých ukazovateľov

Rozdelenie početnosti ukazovateľa mlieko v kilogramoch ukazuje, že je vychýlené (zošikmené) do pravej strany (negatívna asymetria). Priemer dosahuje vyššiu hodnotu ako medián, čo je zaznamenané aj v krabicovom grafe. Podobne nie sú súmerné ani hranice, ktoré určujú vertikálne ohraničené úsečky (whiskers). Potvrdený je aj výskyt niekoľkých extrémnych hodnôt. Uvedené rozdelenie nemôžeme preto považovať za úplne normálne rozdelenie početnosti.

Rozdelenie početnosti ukazovateľa tuk v kilogramoch môžeme považovať za približne normálne (priemer a medián sú prakticky rovnaké). Drobná odchýlka je v spojitosti so zobrazovanými kvartilmi a niektorými extrémnymi hodnotami.

Rozdelenie početnosti ukazovateľa % tuk sa podobá normálnemu rozdeleniu. Uvedené rozdelenie môžeme preto považovať za normálne rozdelenie početnosti. Priemer a medián sú veľmi podobné. Krabicový graf to potvrdzuje tiež, neobsahuje žiadne extrémne hodnoty.

Rozdelenie početnosti ukazovateľa bielkoviny v kilogramoch môžeme tiež považovať za približne normálne (existuje ale mierna negatívna asymetria). Drobná odchýlka je v spojitosti so zobrazovanými kvartilmi a niektorými extrémnymi hodnotami.

Rozdelenie početnosti ukazovateľa % bielkovín sa znovu podobá normálnemu rozdeleniu. Uvedené rozdelenie môžeme preto považovať za normálne rozdelenie početnosti. Priemer a medián sú mierne rozdielne. Krabicový graf to obsahuje jednu extrémnu hodnotu.

Rozdelenie početnosti ukazovateľa laktóza v kilogramoch považujeme podobne ako predchádzajúce vlastnosti za približne normálne (existuje mierna negatívna asymetria). Drobná odchýlka je v rozdieloch hodnoty priemeru a mediánu a v existencii niektorých extrémnych hodnôt.

Rozdelenie početnosti ukazovateľa % laktózy ukazuje, že je vychýlené (zošikmené) do ľavej strany (pozitívna asymetria). Priemer dosahuje nižššiu hodnotu ako medián, čo je potvrdené aj v krabicovom grafe. Hoci hranice, ktoré určujú vertikálne ohraničené úsečky (whiskers) sú súmerné, existuje pomerne veľký počet minimálnych extrémnych hodnôt. Uvedené rozdelenie preto nemôžeme považovať za úplne normálne rozdelenie početnosti.

Príklad 1.1.2 Vypočítajte a popíšte základné štatistické charakteristiky ukazovateľa produkcia mlieka v kilogramoch podľa poradia laktácie. Zistite na ktorej laktácii má produkcia mlieka najväčšiu a najmenšiu variabilitu. Pre hodnotený ukazovateľ zostavte a interpretujte grafy vo forme histogramu a vo forme krabicového grafu podľa jednotlivých laktácií.

Výsledky sumárnej štatistiky (program SAS)

V tabuľke sú uvedené základné číselné štatistické charakteristiky produkcie mlieka podľa poradia laktácie. Priemerná hodnota produkcie mlieka na prvej a druhej laktácii je približne rovnaká. Najväčšiu variabilitu dosiahla produkcia mlieka na druhej laktácii (variačný koeficient má hodnotu 17,86 %), najnižšiu variabilitu dosiahla produkcia mlieka na prvej laktácii (variačný koeficient má hodnotu 15,39 %). Všeobecne ale môžeme tvrdiť že variabilita produkcie mlieka kráv je približne rovnaká.

Grafické zobrazenia sumárnych výsledkov podľa poradia laktácie

Prvé dve laktácie majú rozdelenie početnosti kilogramov mlieka veľmi podobne zošikmené do pravej strany (negatívna asymetria). Ich priemery dosahuje vyššiu hodnotu ako medián, čo je znázornené aj v krabicovom grafe. Podobne nie sú súmerné ani hranice, ktoré určujú vertikálne ohraničené úsečky (whiskers). Potvrdený je aj výskyt extrémnych hodnôt. Uvedené rozdelenia nemôžeme preto považovať za úplne normálne rozdelenia početnosti. Rozdelenie početnosti produkcie mlieka na tretej laktácie je ale rozdielne. Blíži sa skôr k normálnemu rozdeleniu početnosti. Hodnota priemeru je veľmi podobná hodnote mediánu (rozdiel je iba približne 51 kilogramov). Rozdiel priemerných hodnôt a mediánov v prípade prvých dvoch laktácií je výrazne väčší.