Studentov t -Test
Studentov t-Test je štatistickou metódou, ktorá umožňuje overiť nasledujúce hypotézy:
- Hypotézu či normálne rozdelenie, z ktorého pochádza určitý náhodný výber má určitú konkrétnu hodnotu, pričom rozptyl premennej je neznámy.
- Hypotézu či dve normálne rozdelenia majúce rovnaký rozptyl, z ktorých sú dva nezávislé náhodné výbery, majú rovnaké stredné hodnoty, alebo rozdiel týchto stredných hodnôt je rovnaký presne stanovenej číselnej hodnote.
V prvom prípade môže byť náhodný výber tvorený jednotlivými konkrétnymi hodnotami znaku, pre ktorý je vypočítaná stredná hodnota. Vtedy sa jedná o jedno výberový t -Test, Náhodný výber môže byť ale tvorený aj párovými dvojicami hodnôt, pri ktorých zisťujeme rozdiel ich stredných hodnôt. Takýto test sa nazýva párový t -Test. Pri ďalšej hypotéze sa jedná o dvoj výberový t -Test. Tento test je asi najznámejší a najviac používaný keď chceme zistiť či merania v jednej skupine (ich stredná hodnota) sú štatisticky významne odlišné od meraní (strednej hodnoty) v druhej skupine.
Vzorové údaje (zdroj: Databáza údajov projektu KEGA)
V rámci výučby predmetu Biometrika je vytváraný výberový súbor niektorých telesných mier študentov s ich základnými triediacimi znakmi, ktorý je aktualizovaný každý rok (dodržaný princíp anonymity, dobrovoľnosti s potvrdeným súhlasom jednotlivých študentov).
Príklad 1.3.1 Overte 3 štatistické hypotézy: hypotézu či skupina študentiek má hmotnosť presne 62 kilogramov a skupina študentov hmotnosť presne 80 kilogramov, hypotézu či existuje rozdiel v priemernej hodnote veku študentov podľa pohlavia a overiť hypotézu či existuje štatisticky preukazný rozdiel 10 centimetrov medzi obvodom hrudníka a obvodom pása v triedení podľa pohlavia.
Pre overenie prvej hypotézy použijeme jedno výberový typ t -Testu (One Sample). V základnom nastavení testu musí byť samozrejme, správne nastavená hodnota nulovej hypotézy 80 kilogramov v prípade študentov, 62 kilogramov v prípade študentiek a pre lepšie znázornenie výsledkov potvrdené nastavenie grafických možnosti výstupov samotného testu.
- Výsledky jedno výberového t -Testu – pohlavie muži (1. hypotéza, program SAS)
V prípade študentov, ktorí dosiahli priemernú hmotnosť 80,47 kilogramov bola potvrdená nulová hypotéza, že výberový priemer sledovaného znaku sa štatisticky nelíši od hodnoty 80 kilogramov. (p=0,6219). Hodnota 80 kilogramov sa nachádza v rozpätí konfidenčných intervalov pri stanovenej spoľahlivosti 95 %.
Výsledky jedno výberového t -Testu – pohlavie ženy (1. hypotéza, program SAS)
V prípade študentiek, ktoré dosiahli priemernú hmotnosť 60,72 kilogramov nebola potvrdená nulová hypotéza, že výberový priemer sledovaného znaku sa štatisticky nelíši od hodnoty 62 kilogramov. Platí preto jednotková hypotéza, že výberový priemer sa štatisticky líši od hodnoty 62 kilogramov (p=0,0186). Hodnota 62 kilogramov, nastavená v nulovej hypotéze, sa nenachádza v rozpätí konfidenčných intervalov pri stanovenej spoľahlivosti 95 %. Konfidenčný interval dosiahol pri študentkách hodnoty od 59,6724 do 61,7861 kilogramov.
Výsledky dvoj výberového t -Testu (2. hypotéza, program SAS)
Základom správneho porovnania dvoch hodnotených skupín na základe dvoj výberového t -Testu je splnenie nasledovných predpokladov: nezávislosť pozorovaní, predpoklad normality údajov v rámci jednotlivých skupín (častokrát stačí približná normalita) a predpoklad rovnakého rozptylu pre každú skupinu (ak nie je dodržaný tak môžeme uplatniť iba aproximatívny – približný t-Test). Podmienka nezávislosti pozorovaní bola splnená a dodržiavaná už pri samotnom zhromažďovaní údajov o telesných mierach študentov. Problém by mohol nastať iba v prípade, ak by medzi študentami a študentkami by bolo príliš veľa súrodeneckých vzťahov vo forme dvojčiat, čo by mohlo narušiť podmienku nezávislosti údajov. Nami zhromažďované údaje ale takýto problém nemajú a tak ich môžeme v rámci skupín aj medzi skupinami považovať za nezávislé. Približne splnenú podmienku normality údajov dvoch skupín študentov ukazuje grafické znázornenie distribúcie veku študentov podľa pohlavia, ktoré môžeme získame pri výpočte základných štatistických parametrov v rámci popisnej (sumárnej) štatistiky.
Dodržanie predpokladu približne rovnakej hodnoty rozptylu analyzovaného znaku, ako tretej podmienky, nachádzame vo výsledkoch vo forme F-testu. Preukaznosť tohto testu dáva možnosť správneho výberu ponúkaných dvoch typov a hodnôt t -Testu (test pri rovnakom rozptyle znaku a test pri nerovnakom rozptyle znaku). Spravidla ak je nulová hypotéza o rovnosti rozptylov pravdivá hodnota F-testu je veľmi blízko hodnote 1. Ak zamietnete nulovú hypotézu o rovnosti rozptylov, použijeme na testovanie rovnosti skupinových priemerov t -Test pre nerovnaký rozptyl. Samozrejme, ale stále platí, že tento test je platný iba pre nezávislé vzorky z normálneho rozdelenia. Dodržanie približnej normality sa vyžaduje aj pri analýzach veľkých vzoriek údajov.
Výsledky obsahujú základné štatistické charakteristiky veku študentov podľa pohlavia a základné štatistické charakteristiky rozdielu veku medzi študentmi a študentkami. Priemerný rozdiel vo veku bol zistený -0,1743 roka, čo predstavuje, že študenti sú o túto hodnotu v priemere mladší ako študentky. Konfidenčný interval pri stanovenej hranici spoľahlivosti 95 % sa pohybuje v rozpätí od -0,5374 do +0,1887 čo znamená, že priemerný rozdiel sa nachádza v tomto intervale. Hodnota F-testu 2.42 (p < 0,0001) potvrdzuje, že hypotéza o rovnosti rozptylov je neplatí a hodnoty rozptylov znaku v dvoch skupinách študentov sú štatisticky vysoko rozdielne. Z uvedeného vyplýva, že pre hlavnú interpretáciu výsledkov dvoj výberového t -Testu použijeme hodnotu t -Testu a jeho preukaznosti pre nerovnaké rozptyly (Satterthwaite, Unequal). Hodnota tohto t -Testu dosiahla hodnotu -0,95, pravdepodobnosť p=0,3451, čo potvrdzuje nulovú hypotézu o rovnosti priemerných hodnôt veku študentov a študentiek. Rozdiel priemerných hodnôt preto pokladáme prakticky za nulový, čiže neexistuje medzi nimi štatistická preukaznosť.
Výsledky párového t -Testu – pohlavie muži (3. hypotéza, program SAS)
Na základe výsledkov párového t -Testu rozdielu priemerných hodnôt obvodu hrudníka a obvodu pása študentov (+9,8415 cm) sa pri stanovenej nulovej hypotéze (+10 cm) táto hypotéza potvrdila (hypotézu nezamietame). Hodnota t -Testu dosiahla -0,26 (p=0,7935), čo potvrdzuje, že skutočný rozdiel priemerných hodnôt obvodu hrudníka a obvodu pása sa štatisticky vôbec nelíši od hodnoty +10 centimetrov. Hodnota 10 centimetrov sa nachádza v rozpätí skutočne zistených konfidenčných intervalov rozdielu hodnôt (číselné aj grafické vyjadrenie).
Výsledky párového t -Testu – pohlavie ženy (3. hypotéza, program SAS)
Na základe výsledkov párového t -Testu rozdielu priemerných hodnôt obvodu hrudníka a obvodu pása študentiek (+13,3446 cm) sa pri stanovenej nulovej hypotéze (+10 cm) táto hypotéza nepotvrdila (hypotézu zamietame). Hodnota t-Testu dosiahla 7,76 (p<0,0001), čo potvrdzuje, že skutočný rozdiel priemerných hodnôt obvodu hrudníka a obvodu pása sa vysoko štatisticky líši od hodnoty +10 centimetrov. Hodnota 10 centimetrov sa nenachádza v rozpätí skutočne zistených konfidenčných intervalov rozdielu hodnôt. Konfidenčné intervaly dosiahli hodnoty od 12,4967 do 14,1925), čo názorne potvrdzuje aj grafické vyjadrenie výsledkov analýzy.