Korelačná a regresná analýza umožňujú analyzovať vzťahy medzi jednotlivými spojitými premennými (kvantitatívnymi znakmi) hodnoteného súboru údajov, časti, alebo kompletnej databázy údajov.
Základom korelačnej analýzy je výpočet tzv. korelačnej štatistiky, ktorá by mala byť doplnená preskúmaním bodových grafov jednotlivých vzťahov. Bodové grafy opisujú vzťah medzi dvoma spojitými premennými. Grafické vyjadrenie vzťahov môže napomôcť k lepšiemu pochopeniu a presnejšej interpretácii získaných základných výsledkov analýz. Medzi najčastejšie používanú korelačnú štatistiku patrí Pearsonova korelačná štatistika, ktorá meria stupeň lineárneho vzťahu medzi dvoma premennými pomocou jednoduchého korelačného koeficienta.
Regresná analýza definuje funkčný vzťah medzi spojitou závislou premennou a spojitou vysvetľujúcou (nezávislou) premennou. Najčastejšie sú používané jednoduchá lineárna závislosť, viacnásobná lineárna závislosť a logistická závislosť (logistická regresia). Predpoklady lineárnej regresie sú: priemer závisle premennej je lineárne závislí na vysvetľujúcej premennej, jednotlivé pozorovania sú nezávislé, chyby vysvetľujúcej premennej majú normálne rozdelenie a chyby ich rozptylu sú rovnaké. V špecifických prípadoch sa ale pri regresnej analýze využívajú aj mnohé ďalšie nelineárne regresné závislosti.
Jednoduchá lineárna regresná analýza
Vzťah medzi závisle premennou (Y) a nezávisle premennou (X) je možné popísať jednoduchou lineárnou regresnou rovnicou:
Cieľom jednoduchej lineárnej regresie je charakterizovať vzťah medzi závisle a nezávisle premennými v populácii. Naše údaje, ktoré predstavujú v skutočnosti vzorku údajov, použíjeme na odhad neznámych parametrov celej populácie (b0, b1), ktoré definujú predpokladaný vzťah medzi závisle a nezávisle premennými.
Odhady neznámych parametrov populácie možno získať metódou najmenších štvorcov. Metóda poskytuje odhady pomocou priamky, ktorá minimalizuje súčet veľkosti štvorcov medzi pozorovaniami a preloženou priamkou. Vertikálne vzdialenosti pozorovaní od priamky sa často označujú ako chyba.
Pri pomerne veľkej a súčasne reprezentatívnej vzorke údajov by preložená regresná priamka mala byť dobrým odhadom vzťahu medzi závislými a nezávislými premennými v celej populácii. Odhadované parametre získané pomocou metódy najmenších štvorcov by mali byť preto kvalitnými aproximáciami skutočných parametrov populácie.
Ak chceme zistiť, či je jednoduchý lineárny regresný model presnejší ako základný model, musíme porovnať vysvetlenú variabilitu znaku s jej nevysvetlenou variabilitou. Za základný model sa považuje model pri ktorom parameter b0 = 0.
Vysvetlená variabilita súvisí s rozdielom medzi regresnou čiarou a priemerom závisle premennej. Suma štvorcov modelu (Sum of Squares Model) je množstvo variability vysvetlenej modelom. Nevysvetlená variabilita súvisí s rozdielom medzi pozorovanými hodnotami a regresnou priamkou. Suma chýb štvorcov (Sum of Squers Error) je množstvo variability, ktorú model nevysvetlil. Celková variabilita súvisí s rozdielom medzi pozorovanými hodnotami a priemerom závisle premennej. Korigovaný celkový súčet štvorcov (Sum of Squers Corrected Total) je súčtom vysvetlenej a nevysvetlenej variability.
Viacnásobná lineárna regresná analýza
Viacnásobná lineárna regresná analýza skúma vzťah závisle premennej a viacerých nezávislých premenných súčasne. Pri jednoduchej lineárnej regresii sme vyjadrili vzťah medzi dvoma premennými pomocou priamky. Ak máme dve nezávislé premenné, môžeme vyjadriť vzťah medzi celkovo tromi premennými pomocou roviny.
Nulová hypotéza pri viacnásobnej lineárnej regresii je, že sklony priamok (odhady regresných koeficientov) pre všetky nezávisle premenné sú rovné nule (b1=b2=…bk=0). Alternatívnou hypotézou je, že aspoň jeden sklon priamky (jeden odhadnutý regresný koeficient) sa nerovná nule. Ak odmietnete nulovú hypotézu, musíte určiť, ktoré z nezávislých premenných majú nenulové sklony priamky, a či sú skutočne pri analýze potrebné a štatisticky významné.
Testy odhadov parametrov nám pomáhajú určiť, ktoré konkrétne parametre sú nenulové, ale popri tom treba ich použitie starostlivo zvážiť. Testujú významnosť každej premennej, keď sa pridá k modelu, ktorý už obsahuje všetky ostatné nezávisle premenné.
Existujú viaceré možnosti výberu modelu. Metódy postupného výberu pomáhajú vybrať nezávisle premenné, ktoré sú najužitočnejšie pri vysvetľovaní alebo predpovedaní hodnotenej závisle premennej. Niektoré z metód postupného výberu sú Forward, Backward a Stepwise metódy.
Predpoklady pre použitie viacnásobnej regresie môžeme preskúmať podobným spôsobom ako pri jednoduchej lineárnej regresii vytvorením bodových grafov a grafov rezíduí. Podobne aj pri viacnásobnej lineárnej regresie identifikujeme body, ktoré môžu výrazne ovplyvniť zmenu regresnej rovnice a detekujeme možnú multikolinearitu.
Vzorové údaje 1.5 (zdroj: SAS Enterprise Quide, úprava Candrák 2021)
Športový oddiel chce vyhodnotiť telesnú kondíciu svojich členov, ktorí sa v minulosti intenzívne zaoberali športom. Jedným z meradiel kondície športovcov je spotreba kyslíka. Z uvedeného dôvodu sa preto merala jednotlivým osobám počas pretekov spotreba kyslíka a súčastne sa uskutočnilo aj zisťovanie niekoľkých ďalších meraní a parametrov, ako je vek, pulz, hmotnosť človeka. Jedným z cieľov vyhodnocovania telesnej kondície bývalých športovcov je, či niektorá z týchto ďalších premenných resp. parametrov môže pomôcť spresniť predpoveď spotreby kyslíka ako hlavného ukazovateľa hodnotenia telesnej kondície.
Praktické použitie programu SAS (SAS Enterprise Guide) – korelačná analýza
Úlohy (Tasks): Analyze – Multivariate – Correlation
Príklad 1.10 (SAS) – korelačná analýza
Na základe korelačnej analýzy zistite aký je vzťah medzi výkonom bývalých športovcov a ostatnými sledovanými ukazovateľmi. Zadaná úloha má nasledovné nastavenia a parametre, ktoré umožnia vypočítať požadované korelačné koeficienty a zostaviť jednoducjé bodové grafy analyzovaných vzťahov:
Vybratým typom korelačného koeficienta je jednoduchý (Pearsonov) korelačný koeficient, ktorý vyjadruje mieru intenzity (tesnosť) lineárneho vzťahu medzi dvoma náhodnými premennými.
Uvedené nastavenia nám poskytnú základnú analýzu vťahu výkonu športovca k ostatným sledovaným spojitým premenným.
V rámci jednotlivých nastavení je možnosť voľby viacerých typov korelačných koeficientov a ďalších doplnkových výpočtov (štandardne je nastavený Pearsonov korelačný koeficient). Samostatne je možné nastaviť zostavenie jednoduchých bodových grafov:
Korelačný koeficient vyjadrujúci vzťah medzi spotrebou kyslíka a samotným výkonom športovca je +0,86377. Hodnota p je veľmi nízka (<0.001), čo znamená, že tento koeficient sa výrazne líši od hodnoty nula. Druhý najväčší korelačný koeficient v zápornej hodnote -0,86219 bol zistený pri analýze vzťahu spotreba kyslíka a čas odbehnutia pretekov. Podobne aj tento vzťah je vysoko štatisticky preukazný. Štatisticky preukazné boli zistené aj vzťahy medzi spotrebou kyslíka a pulzom krátko po behu (-0,39808, p=0,0266) a pulzom v kľude (-0,39935, p=0,0260). Pri týchto vzťahoch ale hodnoty korelačných koeficientov nedosiahli vysoké absolútne hodnoty. Uvedené výsledky korelačnej analýzy naznačujú, že viacero premenných môže byť dobrými predpoveďami skutočnej spotreby kyslíka v rámci športovej činnosti človeka. Následne vykonaná detailnejšia regresná analýza môže využiť práve tieto uvedené výsledky a závery.
